【原理】逻辑回归模型-原理解说

逻辑回归模型是最最最不得不学的一个模型，为什么呢？因为只要混下去，就会发现在哪都会见到它的身影，所以逻辑回归模型差不多是必学、必知的一个模型，那我们这节就来看看逻辑回归模型是怎么一回事。

一、逻辑回归模型

逻辑回归模型是一种用解决二分类问题的模型，也就是预测样本是正样本还是负样本。在说逻辑回归之前，我们先来详细看看什么是二分类问题。

1.1. 先认识一下二分类问题

先来说下什么是二分类问题，直接来点数据看看，如下：

可以看到，数据中包含了各个特征，而预测目标则是区分出样本是类别是1还是0，这就是二分类问题了。

二分类问题的样本只有两个类别：类别1或类别0，类别1、类别0也称为正、负样本。正样本并不是说这个样本有多正，而是代表"它是我们想要识别出来的目标样本"，例如广告投放，真正客户就是"正样本"。

事实上，二分类问题只需识别出是不是正样本就可以了，因为不是正样本(类别1)那就是负样本(类别0)。

好了，对于二分类问题，模型要输出什么呢？常见的有4种输出方式，如下：

【1】判断标签：直接输类别标签。

【2】判断结果：输出Yes或No，即代表是不是类别1。

【3】判断依据：输出属于类别0、1的判别值，哪类的判别值大就是哪类。

【4】判断依据：输出属于类别1的概率。

具体哪种输出更适合二分类问题，需要具体问题具体确定，但二分类问题输出概率是最通用的，因为它可以转化为判断标签或判断结果。

1.2. 什么是逻辑回归模型

好了，可以来看看逻辑回归模型了，在之前我们学习过线性回归模型，线性回归拟合的是数值，并不符合二分类问题预测类别的需求，但数值与类别也是有关联的，即值越大，属于某类别的概率也越大，例如，天色越黑，下雨的概率就越大，因此判别值与概率之间可以相互转换。在数学里通常用函数  将数值转化为概率， sigmoid函数的图像如下：

备注：可以看到，sigmoid函数的输出区间为(0,1)，它与概率的范围是一致的

逻辑回归就是这样的原理，先用   作为对样本属于正样本的综合评估值，再套用 sigmoid 函数将综合评估值转为概率，逻辑回归模型的表达式如下：

其中，

如果喜欢把整个模型写为一个式子，则是：

可以看到，它其实很简单，骨子里还是一个线性模型，只是外面套了一个sigmoid函数来将判别值转为概率。

备注：这样理解逻辑回归模型的原理是不够深入的，但作为入门无伤大雅，进阶时我们会回头重看sigmoid函数的另一种意义。

二、逻辑回归-损失函数与训练

我们都知道，模型的三件套是模型公式、损失函数和求解，上面我们已经了解了逻辑回归的模型了，下面我们再来看看它的损失函数的求解方法(也就是训练方法)。

2.1. 逻辑回归-交叉熵损失函数

逻辑回归以交叉熵作为损失函数，如下：

公式的意义我们下一节再来慢慢讲，因为这个公式可以由交叉熵和最大似然推导得到，这两个知识也是机器学习中的基础内容、无处不在，所以我们下节再重点讲讲这两个东西。

2.1. 逻辑回归-训练算法

逻辑回归的训练，也就是求解一个W，来令损失函数最小化，一般可以使用梯度下降法、牛顿法等等优化算法。比较简单的方法就是使用梯度下降算法了：

如图，梯度下降算法就是先初始化一个解，再不断往目标函数的负梯度方向调整解，直到梯度很小(也就是到达了极值点)。梯度下降算法前面我们已经学习了，这里就不再啰嗦了。

2.3. 逻辑回归-训练流程

好了，我们来看下梯度下降算法训练逻辑回归的流程，虽然现在调包训练模型一般不用自己实现，但看看也方便了解一下原理。梯度下降训练逻辑回归模型的算法流程如下：

其实很简单，就是先初始化W，然后：

    1. 按照梯度公式算出梯度

    2. 将W往负梯度方向调整

不断循环(1)和(2)，直到达到终止条件(例如达到最大迭代次数)

软件包中不一定使用梯度下降算法，例如matlab工具箱里使用的就是牛顿法，虽然牛顿法训练会更快，但原理也相对更为复杂，这里就不展开说了，浅尝即止。

2.4. 逻辑回归-梯度公式

我们都知道梯度下降算法训练时需要计算梯度，那么逻辑回归损失函数L(W)的梯度是什么呢？

逻辑回归梯度公式如下：

 其中

 ：样本的输入特征数据，矩阵

              m为样本数，n为特征个数，即一行为一个样本

 ： 样本的标签y，列向量       

                             ：模型预测值，即，的列向量     

：模型的权重，的列向量        

后面我们再用独立文章来讲它的推导过程，这里只摆出公式，自己用梯度下降算法实现逻辑回归的训练时，拿这个公式来用就可以了，后面我们会在代码中展示。

总结

总的来说，逻辑回归模型就是一个用来做二分类的模型，它输出样本为正样本的概率，它只是在线性模型的基础上套了一个sigmoid函数来转为概率。它以交叉熵作为损失函数，训练时可以使用梯度下降法进行训练，只需要初始化一个解，然后不断往负梯度方向迭代就可以了，如此简单，下课。