【介绍】分块矩阵-求逆公式与推导

经常会用到分块矩阵的求逆，这里记录一下分块矩阵求逆公式的两种形式，同时给出一下它们的推导过程。

一、分块矩阵的求逆公式

设矩阵A的分块表示如下：

假设A11，A22的逆存在，则A的求逆公式共有两种，A的逆矩阵B如下：

 一、分块矩阵求逆公式（形式一）：

其中，  

二、分块矩阵求逆公式（形式二）：

其中，    

二、分块矩阵求逆公式-推导过程

下面我们一起来看看两个公式是怎么推导出来的。

2.1. 分块矩阵求逆公式-形式一推导过程

设 是A的逆

则有

展开即有 ：

(1)  

(2)    

(3)    

(4) 

1. 用(2)(4)式共同消掉B12，从而求得B22

2. 将B22代入(2)式求得B12

这里选择代入(2)式是因为(2)式右边为0，比(4)式更简洁，所以代入(2)而不是(4)。

3. 用(1)(3)式消掉B11,从而求得B21

注意到与 有共同元素，可以用简化： 

这里第4个等号乘以 是为了去掉逆矩阵，不选择是因为在求时已经使用了的逆，消或不消都一样。

4. 将B21代入(1)式求得B11

这里如果选择代入(3)式，结果需要求的逆，所以选择代入(1)式。(1)式虽然要求的逆，但的逆在其它式中已经使用了，并不增加计算量。

结果整理：

统一记 为，则整理可得

最终得到

其中

2.2. 分块矩阵求逆公式-形式二推导过程

下面来推导一下形式二的公式是怎么得出来的。

设 是A的逆

则有

展开即有 ：

(1) 

(2)    

(3)    

(4) 

1. 用(1)(3)式共同消掉B21，从而求得B11

2.  将B11代入(3)式求得B21

3. 用(2)(4)式消掉B22 ,从而求得B12

4. 将B12代入(4)式求得B22

结果整理：

统一记  为

则有

最终得到：

其中

 

以上就是分块矩阵的求逆公式，以及它们的详细推导过程了。