【介绍】矩阵分解之- LU分解

矩阵的LU分解是一种针对方阵的分解，它将矩阵分解成下三角矩阵L和上三角矩阵U的积，即A=L*U，矩阵的LU分解常见的有三种：Doolittle分解、Crout分解和Cholesky分解，它们各有特色，下面我们来看看这三种LU分解分别是什么，以及具体的代码实现。

一、矩阵的LU分解

1.1. LU分解是什么

LU分解是指将方阵A分解为下三角矩阵L与上三角矩阵U的乘积，也就是将方阵A分解为：

 其中，L是下三角矩阵，U是上三角矩阵

也就是如下形式：

1.2. LU分解有哪些

事实上，LU分解的方法有许多，常见的有Doolittle分解、Crout分解和Cholesky分解。

三种LU分解方法的特点如下：

Doolittle分解   ：L对角元全为1(即单位下三角矩阵)  

Crout分解        ：U对角元全为1(即单位上三角矩阵) 

Cholesky分解  ：U是L的转置(要求A必须是正定对称方阵)  

如下所示：

二、LU分解-代码实现

好了，下面我们看一下在python中如何利用scipy来实现LU分解。具体代码实现如下：

"""
本代码用于展示scipy实现LU分解
本代码来自《老饼讲解-机器学习》www.bbblearn.com
"""
import numpy as np
from  scipy import linalg

# 创建一个示例矩阵
A = np.array([[16,24,4], [24,45,15], [4,15,14]], dtype=float)
print('\n矩阵A:',A)

# Doolittle分解
P, L, U = linalg.lu(A)
print('\n---Doolittle分解----')
print('\nL:',L)
print('\nU:',U)
print('\nL*U:',L@U)


# Cholesky分解
L = linalg.cholesky(A,lower=True)
print('\n---Cholesky分解----')
print('\nL:',L)
print('\nL*L^T:',L@L.T)

代码运行结果如下：

可以看到，Doolittle分解得到的L对角线元素全为1，的结果与被分解的矩阵A是一样的。

同样地，Cholesky分解只能得到一个下三角矩阵L，而的结果与被分解的矩阵A是一样的。

总结

LU分解就是将矩阵分解为下三角矩阵与上三角矩阵的积，常用的LU分解有三种：Doolittle分解、Crout分解和Cholesky分解。其中，Doolittle分解是L的对角线元素为1，而Crout分解是U的对角线元素为1，Cholesky分解只适用于正定矩阵，它分解为 。