【优化】一篇入门之-蚁群算法(ACO)

蚁群算法（Ant Colony Optimization，ACO）是1992年由Marco Dorigo提出的一种模拟蚂蚁觅食行为的优化算法，它主要解决路径优化问题，今天我们就来说说蚁群算法的原理和算法流程，看看蚁群算法是如何解决路径优化问题的，话不多说，马上开始！

一、蚁群算法

人们发现，在蚁群觅食时，蚁群总是能找到一条较短的路径来搬运食物，为什么它们能找到较短的路径呢？ 主要原因是，它们在觅食过程中，每个蚂蚁都会在路径上留下信息素来共享信息，越好的路径，留下的信息素越多，而在蚂蚁选择路径时，会偏向于信息素越多的路径，这样，经过一段时间后，整体就会趋向更优秀的路径。

于是，1992年Marco Dorigo就借鉴蚁群觅食的原理，提出了蚁群算法，用来解决路径优化TSP问题。

1.1. 蚁群算法背景-TSP问题

蚁群算法可以说是为TSP问题量身打造的算法，我们不妨先来说说TSP问题是什么。

TSP(旅行商)问题，简单来说，就是有N个城市 ，旅行商需求穿过每个城市，最终回到出发城市：

而TSP问题就是要寻找一条路径，使旅行总距离最小。

1.2. 蚁群算法-原理与公式

在TSP问题中，如何选择下一个节点就是TSP问题的核心，蚁群算法引入了信息素：

蚁群算法在城市选择下一个城市时，每个可选城市的评估函数如下：

其中，和 分别是从i城市到j城市的信息素和距离 ，则是预设的权重因子

蚁群算法其实非常简单，它的核心就只有上面这一条公式，那我们详细来解说一下：

从公式表面来看，它既考虑当前节点到达下一个节点的距离，又考虑了历史蚂蚁遗留的信息素。如果更本质的理解，那么"距离"其实相当于待选节点在当前局部的优势，而"信息素"则代表着节点的全局优势，所以它相当于在局部与全局之间进行权衡。

进一步地，当每只蚂蚁走完路径时，都会更新它所走过路径的信息素，

其中，d是这只蚂蚁的路径总长度

等所有蚂蚁都走完的时候，对信息素进行挥发：

其中，是挥发系数，可以设为0.9

好了，如此一来，蚁群算法只需要通过多次迭代，信息素对于全局的评估就会越来越准确，最终就会引导蚂蚁走上较短的路径。总的来说，蚁群算法主要就是借鉴了蚂蚁会通过遗留信息素来分享全局信息的特点，从而解决TSP路径优化问题。

二、蚁群算法-算法流程

好了，我们下面再来详细地看一下蚁群算法的算法流程，就知道它具体是怎么干的了。

2.1. 蚁群算法-算法流程图

这里先来晒个算法流程图，再结合下面的描述来理解吧。

蚁群算法的算法流程图如下：

2.1. 蚁群算法-算法流程-描述

蚁群算法的详细算法流程如下： 

一、初始化

1. 初始化每条路径的信息素

    设 为第i个城市到第j个城市的信息素，将它初始化为1，即：

2. 初始化最优路径、最优距离

二、循环迭代

1. 逐个蚂蚁循环，计算每个蚂蚁所走路径

    当前蚂蚁先随机选择一个出发城市，然后依次选择剩余城市

    (1) 计算剩余城市的选择概率

         设当前所在城市为，则转移到j城市的适应度为：

          其中，   ：信息素重要因子，可设为0.1

                   ：启发函数重要因子，可设为10

                  ：第i个城市到第j个城市的信息素

                 ：第i个城市到第j个城市的距离

     (2) 以赌轮盘的方式选择一个城市作为下一个城市

         设当前所在城市为，先将的占比作为第j个城市在轮盘上的面积。

         然后随机转动轮盘，指针指向哪个城市，就选择哪个城市。

     重复(1)、(2)步骤，直到该蚂蚁走完所有城市

2. 计算各个蚂蚁所走路径的距离d 

    不妨记第个蚂蚁所走路径的距离为

3. 找出本轮最优距离，以其对应的路径 

4. 更新历史最优距离、最优路径

    如果本轮最优距离小于历史最优距离，则更新：

5. 更新信息素

    (1) 对所有边的信息素进行信息衰减

            其中，：信息素衰减系数，可设为0.1

    (2) 给每个蚂蚁所走路径的每条边添加1/d的信息素

    (3) 给历史最优路径的每条边添加的信息素

         这称为精英蚂蚁策略，可加速算法收敛

6. 检查终止条件

    如果满足终止条件，则退出迭代，终止条件可设如下：

    (1) 达到最大迭代次数

    (2) 近n次历史最优距离没有明显下降

三、输出结果

1. 输出历史最优路径

2. 输出历史最优路径的距离

三、蚁群算法-代码实现

最后的最后，我们来看看蚁群算法的具体代码实现。

按照上面所说的蚁群算法流程来编写代码求解TSP问题就可以了，具体代码实现如下：

% 本代码展示蚁群算法解决TSP问题
% 本代码来自《老饼讲解神经网络》www.bbblearn.com ,matlab版本：2018a   
clc;clear all;close all ;
rng(888)     % 为方便复现结果,设定随机种子
cityLoc = [3.64,2.68; ...                                                 % beijing
    4.18,1.76 ; ...                                                       % shanghai
    3.71,2.60 ; ...                                                       % tianjin
    1.33,3.30 ; ...                                                       % wulumuqi
    4.20,2.96 ; ...                                                       % shenyang
    3.92,1.82 ; ...                                                       % nanjing
    2.55,1.64 ; ...                                                       % chengdu
    2.37,1.02 ; ...                                                       % kunming
    3.43,2.09 ; ...                                                       % zhengzhou
    3.54,0.70 ; ...                                                       % xianggang
    3.51,1.62 ; ...                                                       % wuhan
    3.44,0.80 ; ...                                                       % guangzhou
    3.24,2.77 ; ...                                                       % huhehaote
    2.38,2.32 ; ...                                                       % xiling
    2.56,2.24 ; ...                                                       % lanzhou
    3.01,2.03 ; ...                                                       % xian
    2.79,2.51 ; ...                                                       % yinchuan
    4.03,1.16 ; ...                                                       % fuzhou
    3.47,0.70 ; ...                                                       % aomen
    1.30,1.69] ;                                                          % lasha
distMat = dist(cityLoc') ;                                                % 计算城市距离
N = size(cityLoc,1);                                                      % 城市个数
										                                  
%------参数设置与初始化------                                             
m     = 30;                                                               % 种群规模
T     = 500;                                                              % 迭代次数
alpha = 1;                                                                % 信息素重要因子
beta  = 5;                                                                % 启发函数重要因子
rho   = 0.1;                                                              % 信息素衰减系数
						                                                  
tauMat = ones(N,N);                                                       % 信息素矩阵
dbest  = inf;                                                             % 最优距离
xbest  = [];                                                              % 最优路径
last_d = -inf(1,10);                                                      % 初始化最近10次的最佳结果
delta_goal = 0.001;                                                       % 近n次下降误差阈值
																		  
% ------迭代--------------                                                
for t =1:T                                                                
    % 计算蚂蚁路径                                                        
    x = zeros(m,N);                                                       % 初始化各个蚂蚁的路径
    for i = 1:m                                                           % 逐个蚂蚁循环
        rest_city = 1:N;                                                  % 剩余的城市
        x(i,1) = randi(N);                                                % 随机选择第一个城市
        rest_city(rest_city==x(i,1))=[];                                  % 将选择的城市从剩余城市移除
        for j = 2:N                                                       % 逐个城市进行选择
            last_city = x(i,j-1);                                         % 上一次选择的城市
            tau = tauMat(last_city,rest_city).^alpha;                     
            d   = (1./distMat(last_city,rest_city)).^beta;                
            A = tau.*d;                                                   % 计算各个城市的适应度
            Psum = cumsum(A/sum(A));                                      % 生成轮盘
            r    = rand();                                                % 生成随机数
            idx  = min(find(r<Psum));                                     % 找出随机数指向轮盘的位置
            select_city = rest_city(idx);                                 % 本轮选择的城市
            x(i,j) = select_city;                                         % 保存本轮选择的城市
            rest_city(rest_city==select_city)=[];                         % 将选择的城市从剩余城市移除
        end                                                               % -
    end                                                                   % -
	% 计算每条路径的距离                                                  
    xx = [x,x(:,1)];                                                      % 拼上第一个城市,作为最后返回的城市
    d  = zeros(m,1) ;                                                     % 初始化每只蚂蚁的路径的距离
    for i = 1:m                                                           % 逐个蚂蚁循环
        for j = 1:N                                                       % 逐个城市循环
        d(i) = d(i) +  distMat(xx(i,j),xx(i,j+1));                        % 累加当前城市的距离
        end                                                               
    end                                                                   
	% 打出最优路径                                                        
    [dmin,idx_min] = min(d);                                              % 本轮最小的距离
    if(dmin<dbest)                                                        % 如果本轮结果优于历史结果
        dbest = dmin;                                                     % 更新历史最优距离
        xbest = x(idx_min,:);                                             % 更新历史最优路径
    end                                                                   % -
																		  
    % 更新信息素                                                          
    tauMat = tauMat*(1-rho);                                              % 信息素衰减
    xx     = [xx;[xbest,xbest(1)]];                                       % 拼上蚂蚁精英的路径
    for i = 1:m                                                           % 逐个蚂蚁循环
        for j = 1:N                                                       % 逐个城市循环
            tauMat(xx(i,j),xx(i,j+1)) = tauMat(xx(i,j),xx(i,j+1))+1/d(i); % 给蚂蚁走过的路径添加信息素
        end                                                               
    end                                                                   
																		  
    % 打印当前结果                                                        
    fprintf('第%d轮,最小距离为:%d\n',t,dbest)                             % 打印当前优化结果
    hold off                                                              
    plot(cityLoc(:,1),cityLoc(:,2),'o','MarkerEdgeColor','k',...          
        'MarkerFaceColor','y','MarkerSize',10,'LineWidth',2)              % 画出各个城市
    hold on                                                               
    plot(cityLoc([xbest,xbest(1)],1),cityLoc([xbest,xbest(1)],2))         % 画出当前路径
    drawnow                                                               
																		  
    % 判断终止条件                                                        
    last_d = [last_d(2:end),dbest];                                       % 记录本轮的历史最优值
    if((max(last_d)-min(last_d))<delta_goal)                              % 如果近N轮的优化提升小于阈值
        break                                                             % 则终止迭代
    end                                                                   % -
end                                                                       
disp('结果:')                                                             % 打印标题
disp(['最优距离dbest = ',num2str(dbest)])                                 % 打印历史最优目标函数值
disp(['最优路径xbest = ',num2str(xbest)])                                 % 打印历史最优路径
																		  
																		  
% 根据行列坐标,从矩阵中获取元素                                           
function y = getMatElement(data,row_idx,col_idx)                          % 根据行列坐标,从矩阵中获取元素
row_num = size(data,1);                                                   % 行数
idx = (col_idx-1)*row_num+row_idx;                                        % 计算索引
y = data(idx);                                                            % 矩阵中的元素
end

代码运行结果如下：

可以看到，经过26轮的迭代，蚁群算法成功找到了较为理想的路径。

总结

蚁群算法就是模仿蚂蚁觅食的行为来解决路径优化问题的一种智能优化算法，它的核心就是在每只蚂蚁选择路径时都留下信息素，而每个蚂蚁留下的信息素取决于它的完整路径，越优的路径留下的信息素越多，这样优秀路径留下的信息素就会越来越多，最终引导整体走上更优的路径。